اصطلاح درون يابي در مباحث محاسبات عددي دروس رياضي دانشگاهي كم وبيش مطرح گرديده است. اين بدين معني است كه مجموعه مقاديري درفضاي دو يا چندي بعدي وجود دارد .بدست آوردن مقدار نقط جديدي با استفاده از آن داده ها ميباشد.
در فضاي دوبعدي نمونه هاي داده اي بصورت زوج مرتب زير ميباشند.
(x1,y1) ,(x2,y2),..., (xm,ym)
كهx متغير وy مقدار تابع است .بعنوان مثال نمونه عددي زير براي پنج نمونه اي داده اي فضاي دوبعدي است.
(10,100) , (50,150), (30,60),(55,129),(15,75)
در فضاي سه بعدي دادهاي بصورت سه تائي مرتب زير ميباشند.
(x11,x21,y1) , (x12,x22,y2) , ... , (x1m,x2m,ym)
در فضايn بعدي بردار عمومي تابع بصورت زير تعريف ميشود . شامل n-1 متغير و y مقدار تابع
(x1,x2, ... ,xn-1, y)
ونمونه داده ايi انرا بصورت زير نمايش ميدهيم
(x1i,x2i, ... ,x(n-1)i, yi)
كهxji مقدار متغير j ام در نمونهi ام بودهyi مقدار تابع براي نمونهi ام ميباشد .
قصد ازاين تعاريف بدنبال ارائه يك چند جمله در فضايn بعدي است كه كه از تمام نقاط نمونه بهر تعداد بگذرد يا بعبارتي مقدار چند جمله بازاء مقادير متغير نمونه برابر مقدار تابع آن باشد. بعبارتي اگر چندجمله بصورت زير باشد:
y=F(x1,x2,...,xn-1)
ونمونهj ام(x1j,x2j,...x(n-1)j,yj) بايد براي تمام نمونه ها(j=1,2,..,m) بايد رابطه زير برقرار باشد.
yj=F(x1j,x2j,...,x(n-1)j)
براي ارائه چند جمله اي در فضايn بعدي حاصل ازm نمونه داده اي تعاريفي از عمليات برداري را در زير بيان ميكنيم كه برخي از آنها در عمليات برداري در رياضي وجود دارد ولي مواردي هم براي ارائه الگوريتم جديد ميباشد.
فرض كنيم كهVx بخش متغير هاي فضاي n بعدي نمونه ها را بصورت زير تفكيك نمائيم.
V=(x1, x2, ... , xn-1)
ونمونه دادهايj آنهم بصورت زير باشد .
Vj=(x1j, x2j, ... , x(n-1)j)
براي ارائه سادگي مطلب عمليات رياضي برداري يا نمونه هاي داده اي را روي سه تائي هاي مرتب بيان ميكنيم كه با مشاهده آنها ميتوانيد روي ابعاد مختلف عمليات را پيگري نمائيد.
عمل جمع ـ (a,b,c)+(e,f,g)=(a+e,b+f,c+g)
عمل تفريق ـ (a,b,c)- (e,f,g)=(a-e,b-f,c-g)
عمل ضرب ـ (a,b,c)*(e,f,g)=a*e+b*f+c*g
عمل تقسيم ـ (a,b,c)/(e,f,g)=a/e+b/f+c/g
ياد آوري ـ عمل تقسيم تعريف جديدي ازn تائي مرتب است .
همچنين عمليات فوق درفرمول زير براي هر براكت([ ]) بايد مستقلا انجام شود. جابجائي عمليات بين آنها مجاز نيست.
با توجه به مطالب وتعاريف فوق چند جمله در فضايn بعدي باm نمونه داده اي مطابق زيراست.
y=[1/(n-1)**(m-1)]*([(V-V2)/(V1-V2)]* [(V-V3)/(V1-V3)]*...* [(V-V(n-1))/(V1-V(n-1))]*y1
+[(V-V1)/(V2-V1)]* [(V-V3)/(V2-V3)]*... * [(V-V(n-1))/(V2-V(n-1))]* y2
+ ... +[(V-V1)/(Vm-V1)]* [(V-V3)/(Vm-V3)]*... * [(V-V(n-1))/(Vm-V(n-1))]* ym)
درصورتيكه در رابطه فوقn=2 منظور شود يعني فضا دوبعدي باشد ، رابطه لاگرانژ بدست مي آيد.
براي اينكه روند عمليات بهتر مشخص گردد، مثالي در فضاي سه بعدي با چهار نمونه داده اى زير ، روابط را دنبال ميكنيم
(1,2,4),(3,5,6),(2,4,5),(0,3,1)
جدول زير را باتوجه به مقادير متغير ها وتابع درنمونه هاي داده براي بيان بهتر تنظيم ميكنيم
| شماره
نمونه | نمونه | Vj | Fj | رابطه مربوط به نمونه در تابع(Rj) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,2,4) | (1,2) | 4 | [(V-V2)/(V1-V2)]* [(V-V3)/(V1-V3)]* [(V-V4)/(V1-V4)] |
| 2 | (3,5,6) | (3,5) | 6 | [(V-V1)/(V2-V1)]* [(V-V3)/(V2-V3)]* [(V-V4)/(V2-V4)] |
| 3 | (2,4,5) | (2,4) | 5 | [(V-V1)/(V3-V1)]* [(V-V2)/(V3-V2)]* [(V-V4)/(V3-V4)] |
| 4 | (0,3,1) | (0,3) | 1 | [(V-V1)/(V4-V1)]* [(V-V2)/(V4-V2)]* [(V-V3)/(V4-V3)] |
اگر بردار متغيرهارا دراين مثال بصورتV=(x,y) دراين صورت Rjباجايگزيني نمونه ها مطابق زير در مي آيند
R1=[((x,y)-(3,5))/((1,2)-(3,5))]*[((x,y)-(2,4))/((1,2)-(2,4))]* [((x,y)-(0,3))/((1,2)-(0,3))]
R1=[(x-3,y-5)/(-2,-3)]*[(x-2,y-4)/(-1,-2)]*[(x,y-3)/(1,-1)]
R1=[-(x-3)/2-(y-5)/3]*[-x+2-(y-4)/2]*[x-y+3]
R1=[(-3*x-2*y+19)/6]*[(-2*x-y+8)/2]*[x-y+3]
R2=[((x,y)-(1,2))/((3,5)-(1,2))]*[((x,y)-(2,4))/((3,5)-(2,4))]* [((x,y)-(0,3))/((3,5)-(0,3))]
R2=[(x-1,y-2)/(2,3)]*[(x-2,y-4)/(1,1)]*[(x,y-3)/(3,2)]
R2=[(x-1)/2+(y-2}/3]*[(x-2)+(y-4)]*[x/3+(y-3)/2]
R2=[(x-1)/2+(y-2}/3]*[(x-2)+(y-4)]*[x/3+(y-3)/2]
R2=[(3*x+2*y-7)/6]*[x+y-6]*[(2*x+3*y-9)/6]
براي مواردR3 و R4 مطابق دومورد فوق ميتوان اقدام نمود .نتيجه براي همه موارد با جايگذاري نمونه ها مطابق زير خواهدبود.
R1=[(-3*x-2*y+19)/6]*[(-2*x-y+8)/2]*[x-y+3]
R2=[(x-1)/2+(y-2}/3]*[(x-2)+(y-4)]*[x/3+(y-3)/2]
R3=[(2*x+y-4)/2]*[(-x-y+8)]*[(x+2*y-6)/2]
R4=[(-x-y-1)]*[(2*x-3*y+2)/6]*[(-x+-2*y+10)/2]
F(x,y)=(1/8)*[4*R1+6*R2+5*R3+R4]
در دنباله اين مثال برنامه اي در جاواسكريپت تنظيم گرديده كه نمونه را براي مقادير مختلف محاسبه مي نمايد .براي نمونه هاي ايجاد تابع برآورد هم مطابق معمول وبدو توجه به نمونه محاسبه انجام ميشود تااطمينان بهتري نسبت به الگوريتم حاصل شود .رديف هاي يك الي چهار جدول همان نمونه هاي موجود كه در ايجاد تابع برآورد نقش دارند، ميباشند.
| رديف | نقطه برآورد(x,y) | مقدار برآوردF(x,y) |
|---|